第二章：数据表示与运算

一、数制与编码

1. 进位计数制及其转换

（1）采用二进制编码的原因

• 二进制只有两种状态，使用物理器件制作成本低（2018）
• “1”与“0”正好与逻辑中的真假对应，方便实现逻辑运算（2018）
• 二进制的编码和运算简单，方便实现算术运算（2018）

（2）不同进制间的相互转换

• 二进制转换为八进制

  • 从小数点开始向左向右每隔3位为一组

• 二进制转换为十六进制

  • 从小数点开始向左向右每隔4位为一组

• 十进制转换为二进制（不直接考但会间接用到）

  • 整数部分：除基取余法
  • 小数部分：乘基取整法

（3）真值与机器数

• 真值

  • 用正负号表示的数值为真值，最真实的数值

• 机器数

  • 用“0”和“1”表示正负的数值为机器数，机器中使用的数

2. BCD码

• 2022版考纲删除此部分

3. 定点数的编码表示

机器数的定点表示

（假设字长n+1位）

4. 整数的表示

（1）无符号整数

• 无符号整数常用来表示内存地址
• 无符号数和带符号数相互转换，存储的数值不变，只是解释方式变了（2019）
• 表达式中存在无符号数和有符号数时，所有数都转换为无符号数类型（数值不变，解释方法变了）
• unsigned int 比 int所表示的正数的范围广，经常考察int溢出而unsigned int 不溢出的情况
• 四则运算
  • 无符号数加法：X+Y=X+Y然后左边溢出的位数都扔掉
  • 无符号数减法：X-Y=X+【-Y】补
  • 乘除法：简单的移位运算，有些数据该丢掉就丢掉
• 无符号数-1=11111111
• 编程通常用a>b，而不用a-b>0（可能发生类型转换而出错）

（2）带符号整数

• 计算机中的带符号整数都用补码表示

二、运算方法和运算电路

1. 运算电路

（1）标志寄存器

这些标志位是CPU状态寄存器的一部分，它们在执行算术和逻辑运算后由CPU自动设置，用于指示特定的运算结果状态，从而影响程序的执行流程，例如在条件分支指令中根据这些标志位的状态决定是否跳转。

（2）算数逻辑单元

（3）加法器

①一位全加器

②串行加法器

③并行加法器

• 串行进位的并行加法器
  

• 并行进位的并行加法器
  

④补码加减运算器

• 注意
  • 无符号数加减法、补码加减法都可通过此电路实现
  • Sub信号加法为0，减法为1
  • CF=Sub异或Cout（2018）

2. 运算方法

（1）移位运算

• 算术移位（2018）

• 逻辑移位（2018）

  • 带上符号位一起移位（无论左移还是右移都补0）

• 循环移位

  • 分类
    • 不带进位位CF
      • 类似逻辑移位，CF不参与其中，但移位产生的副本会送进CF
    • 带进位位CF

注意指向CF的箭头

（2）加减运算

• 溢出判断
  • 一位符号位
    • 符号位和最高数位，同时进位不进位或同时不进位不溢出，否则溢出（2010、2014、2018）
  • 双符号位
    • 特点
      • 具有模2补码全部优点且更易检查加减运算中的溢出问题（不能解决溢出问题）
      • 存储时只需要存一个符号位，只在ALU中运算时采用双符号位
    • 结论
      • 00：正数无溢出
      • 11，负数无溢出
      • 01，结果正溢出
      • 10，结果负溢出

（3）乘除运算

• 乘法

在原码一位乘中，由于符号位不参与运算，所以需要额外的步骤来处理符号位，以确保结果的正确性。而在补码一位乘中，符号位的处理更加自然，因为它可以像其他位一样参与运算，这使得补码在计算机中的运算更加普遍。

• 除法

（4）类型转换

例子：

• char(1B)–>short(2B)–>int(4B)–>long(4B)–>float(4B)–>double(8B)
• 215=32768;216=65536（2012、2016默认记住）
• int–>float可能影响精度（int数值在2^24范围内，float能精确表示，超过后可能不能精确表示）
• float–>int可能影响精度（比如float含小数时转换过程中小数部分丢失），也可能会溢出（float表示范围远大于int）
• int–>double一定不会出现精度丢失
• undesignd（无符号数）：在运算时按照int型运算，在读取时按照无符号数

（5）符号扩展

• 正数
  • 都是添0
• 负数
  • 原码：添0
  • 反码：添1
  • 补码：整数添1；小数添0（2009）

（6）数据存储和排列

①基本概念

• 对于一个数：10 23 45H
  • LSB（最低有效字节）：45
  • MSB（最高有效字节）：10

②存储方式

③边界对齐方式（2012、2020）

• 32位计算机按字编址，1字等于4B
• 字节随意存，半字地址是2整数倍，字地址是4整数倍，双字地址是8整数倍

三、浮点数表示与运算

1. 浮点数的表示

（1）浮点数的表示格式

（2）浮点数的表示范围

• 正上溢和负上溢都是上溢，正下溢和负下溢都是下溢
• 尾数决定精度，阶码决定范围

（3）浮点数的规格化

• 目的

  • 使尾数的有效数位尽可能多，从而提高运算的精度

• 途径

  • 左归（尾数左移）；右归（尾数右移）

（4）IEEE754标准

①图示

经常考察把存储的二进制数转换为真值（2011、2014、2020）

②尾数M

• 采用原码表示，且隐藏了最高位的1.

③阶码E

• 采用移码表示，即减去127或者1023
• 短浮点数阶码的表示范围为-126~127

④表示范围

• 规格化浮点数

计算表示的最值（最大正负数、最小正负数等）（2012、2018）

2. 浮点数的加减运算

（1）对阶

• 小阶向大看阶齐，不会产生阶码溢出（2015）
• 右归时尾数右移，可能会舍掉有效位影响精度

（2）尾数求和 （3）规格化

• 左归或右归

（4）舎入

• 恒置1法
  • 只要因移位而丢失的位中有1，就把尾数末位置1（原来是0或1，现在都置为1）
• 截断法
  • 直接截取所需位数，丢弃后面所有位
• 0舍1入法
  • 被舍去的最高数值位为0则直接舍去，被舍去的最高数值位为1则尾数的末位加1
  • 这样做可能使尾数又溢出，此时还需要做一次右归（2015）

（5）溢出判断

• 溢出判断方法

  • 尾数的“溢出”不是溢出，规格化后，阶码的溢出才是真正的溢出（2015）

• 溢出处理方法

  • 上溢：绝对值太大，会引起溢出中断
  • 下溢：绝对值太小，按0处理，一般不需要溢出中断

四、习题

1. 十六进制的数相加，直接按位相加，逢16进1即可
2. 十进制转为八进制，可以先转为二进制再转为八进制
3. 很多十进制小数都不能由二进制精确表示，如1.3
4. ALU属于组合逻辑电路

5. 影响串行进位的并行加法器运算速度的关键因素是进位传递延迟
6. 定点数运算不存在舎入，舎入不一定会产生误差